[[AnalogDiscoveryを試す/03-LCノッチ・フィルタ]]

[[AnalogDiscoveryを試す]]


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2014/11/30からのアクセス回数 &counter;

完成しました!

** LCバンドパス・フィルタ回路 [#y1ea78d3]
特定の周波数成分を通すフィルターをバンドパス・フィルターを呼びます。

今回は、R(抵抗), L(コイル), C(コンデンサー)を使ったLCバンドパス・フィルタをAnalogDiscovery、
LTSpice、Sageを使って試してみましょう。


** LTSpiceを使った周波数解析 [#g8bce5a2]
LTSpiceを使って以下の様なLCバンドパス・フィルターの回路を作成します。
((抵抗の値がノッチフィルターと異なり10KΩになっているで注意してください。))

モデルは、以下のファイルを使用しました。

- &ref(LC_BPF.asc);

&ref(LC_BPF_cir.png);



*** AC解析を実行する [#mc6d2613]
Runコマンド(回路図で右クリックしてRunを選択)を実行すると、以下の様な周波数特性が表示されます。
約15kHz当たりに中心周波数があります。


&ref(LC_BPF_Network.png);


** AnalogDiscoveryで測定してみる。 [#e1ba71c3]
LCバンドパス・フィルターの回路を以下の様にブレッドボードに組み、AnalogDiscoveryと接続します。



&ref(LC_BPF_setting.png);



接続は、以下の通りです。

| AnalogDiscovery | ブレッドボード |h
| Orange: Scope Ch1+ | Vi |
| Orange/White: Scope Ch1- | GND |
| Blue: Scope Ch2+ | Vo |
| Blue/White: Scope ch2- | GND |
| Yellow: Wave Gen 1 | Vi |

*** 波形を測る [#u141bfaa]
最初に中心周波数15.7kHzの方形波を入力したときの出力波形を見てみます。

少しずれていますが、方形波と同じ周波数の正弦波が出力されています。

&ref(th_LC_BPF_15.7KHz.jpg);




*** 周波数特性を測る [#k268b462]
ネットワーク・アナライザを使って周波数特性を実測します。
LTSpiceのシミュレーションと同じ形の周波数特性が測定できました。


&ref(th_LC_BPF_network.jpg);


** Sageを使ってグラフを表示 [#n9d8f841]


Sageを使ってVoでの周波数特性を計算してみましょう。



ここで紹介するSageのノートは、以下のURLで公開しています。

- http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/51/


今回は、伝達関数を連立方程式を使って求めます。

Vo点での電流は、以下の関係を持ちます。

$$
i_R = i_C + i_L
$$

また、Voでの電圧は、コンデンサーもコイルも同じなので、以下の関係式が成り立ちます。

$$
L \frac{di_L}{dt} = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^t i_C(\tau) d\tau
$$

入力電圧Viは、抵抗に流れた電流\(i_R\)とコイルに流れた電流\( i_L \)を使って以下の様に表されます。

$$
R i_R + L \frac{di_L}{dt} = v_i(t)
$$

これらの式を組み合わせると以下の連立方程式が成り立ちます。

$$
\left\{ 
\begin{eqnarray}
i_R & =  &i_C + i_L \\
L \frac{di_L}{dt} & = & \frac{1}{C} \int_{-\infty}^t i_C(\tau) d\tau \\
v_i(t) & = & R i_R + L \frac{i_L}{dt}
\end{eqnarray} 
\right.
$$



これをラプラス変換表を使って書き替えると以下の様になります。
(( ラプラス変換表は、[[AnalogDiscoveryを試す/01-CR積分回路]]を参照して下さい。))



$$
\left\{ 
\begin{eqnarray}
I_R & =  & I_C + I_L \\
LsI_L & = & \frac{1}{Cs} I_C \\
V_i & = & R I_R + Ls I_L
\end{eqnarray} 
\right.
$$



1番目の式を使って2番目と3番目の式を書き替えると以下の様になります。


$$
\left\{ 
\begin{eqnarray}
I_C & = & C L s^2 I_L \\
V_i & = & I_L \{ R(1 + C L s^2) + Ls \}
\end{eqnarray} 
\right.
$$



これから伝達関数Hは以下の様に求まります。
((ここで、\(V_o = V_L\)を使っています。))


$$
H = \frac{V_o}{V_i} = \frac{Ls}{RCLs^2 + Ls + R}
$$




*** Sageで伝達関数をプロットする [#vcde31be]
上記の式から伝達関数を以下の様に定義します。


$$ 
H = \frac{V_o}{V_i} = \frac{Ls}{RCLs^2 + Ls + R}
$$


以下の方法は、伝達関数Hの形が異なるだけで、他は[[AnalogDiscoveryを試す/02-CR微分回路]]と同じです。

Sageへの入力:
#pre{{
# 伝達関数から周波数特性を求める
(s, f,R,C,L) = var('s f R C L')

H = (L*s)/(R*C*L*s^2 + L*s + R) 
}}

表示すると、
Sageへの入力:
#pre{{
show(H)
}}

&ref(eq7.png);


ラプラス変数sをjω、ω=2πfを代入すると、
Sageへの入力:
#pre{{
# s = jω, ω= 2πfを代入すると
H(f) = H.subs_expr(s == 2*i*pi*f)

}}

db単位で表示するために、toDb関数を以下の様に定義します。
#pre{{
# 電気ではデジベルで表示するため、toDb関数を定義する
def toDb(v):
    return 20*log(abs(v), 10) 
}}

振幅特性をプロットします。
Sageへの入力:
#pre{{
# 直接表示すると'unable to simplify to float approximation'のエラーがでるので、lambda式で回避した。

plot(lambda f: toDb(H(f, R=10*10^3, C=0.022*10^-6, L=4.7*10^-3)).n(), [f, 5*10^3, 100*10^3], scale="semilogx", figsize=(5, 3), plot_points=500) 
}}

&ref(gain_BPF.png);




位相特性は、定義から以下の様になります。
#pre{{
# 位相は以下の様になる
Phi(f) = arctan(imaginary(H(f))/real(H(f)))
}}

位相を度で表示するために、toDeg関数を以下の様に定義します。
#pre{{
def toDeg(v):
    return v*180/pi 
}}

位相特性をプロットすると以下の様になります。


Sageへの入力:
#pre{{
# プロットに結構時間がかかります(5分くらい)。
plot(lambda f: toDeg(Phi(f, R=10*10^3, C=0.022*10^-6, L=4.7*10^-3)).n(), [f, 5*10^3, 100*10^3], scale="semilogx", figsize=(5, 3), plot_points=300) 

}}

&ref(phase_BPF.png);





** コメント [#z09654b7]
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- LTSpiceがMac版だったのに気づいてませんでした。そんなの出てたんですね。さっき入れました。wwラプラス変換前までの式が間違ってますね。ILとICが反対だったりdが抜けてたり… -- [[ながやま]] &new{2014-12-05 (金) 04:27:12};
- ながやまさん、ご指摘ありがとうございます。式を修正しました。 -- [[竹本 浩]] &new{2014-12-05 (金) 12:34:36};

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