[[FrontPage]] #contents 2013/12/23からのアクセス回数 &counter; ここで紹介したSageワークシートは、以下のURLからダウンロードできます。 http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/31/ また、Sageのサーバを公開しているサイト(http://www.sagenb.org/, http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/)にユーザIDを作成することで、ダウンロードしたワークシートを アップロードし、実行したり、変更していろいろ動きを試すことができます。 * 音声合成のメカニズム in Sage [#f254f869] Interface 2013/11から連載が始まった「実験で入門!音声合成のメカニズム」をSageを使ってお復習いしていきます。 この説明は、私のブログの [[lbed/LM4F120 Launchpadで音声合成]] と連携しています。 こちらも参考にしてください。 ** フーリエ級数 [#kf765bed] フーリエ級数は、周期的に繰り返される信号をSinとCosで表現したものです。 基本周期\(T_0\)として、周期信号を式で表すと次のようになります。 $$ f(t) = a_0 + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k cos \frac{2 \pi k}{T_0} t + b_k sin \frac{2 \pi k}{T_0} t \right) $$ ** フーリエ級数の例 [#j5ea73a9] Interface 2013/11号では、以下の様な三角波を例題としています。この波形はY軸対称(偶関数)なので、求めるフーリエ係数の\(b_k\)が0となります。 Sageで三角波を表現する場合には、区分関数(Piecewse)を使用します。 三角波では、区間を-0.5から0と0から0.5の2つに分け、それぞれf1, f2で関数を定義します。 sageへの入力: #pre{{ # [-0.5, 0.5]の区間で以下の関数を定義 n, t = var("n t") f1 = lambda t: 4*t + 1 f2 = lambda t: -4*t + 1 f = Piecewise([[(-1/2, 0), f1], [(0, 1/2), f2]]) plot(f, figsize=4) }} &ref(sage0.png); *** フーリエ係数を求める [#wb67c612] 基本周期\(T_0\)とするとフーリエ係数は、以下の様に求めることができます。 $$ \left\{ \begin{eqnarray} a_0 & = & \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t) dt \\ a_k & = & \frac{2}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t) cos \frac{2 \pi k}{T_0} t dt, k = 1, 2, ... \\ b_k & = & \frac{2}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t) sin \frac{2 \pi k}{T_0} t dt, k = 1, 2, ... \end{eqnarray} \right. $$ *** Sageでフーリエ級数を求める [#h7e966db] さっそく、数式処理システムのSageを使って三角波のフーリエ級数を求めてみましょう。 残念ながらPiecewiseの関数に直接sin, cosを掛けることができないので、 sin, cosを掛けた区間関数を定義して、それを積分することにします。 以下がSageでの処理です。最後に$a_0, a_1, a_2, a_3, b_1$を出力しています。 この結果は、Interface 2013/11号の式(4)と同じ結果になっているのが確認できました。 $$ \left\{ \begin{eqnarray} a_k & = & \left\{ \begin{eqnarray} 0, & k: 偶数 \\ \frac{8}{(k \pi)^2}, & k: 奇数 \\ \end{eqnarray} \right. \\ b_k & = & 0, k: すべての整数 \end{eqnarray} \right. $$ sageへの入力: #pre{{ # Piecewiseの関数にsin, cosを掛けることができないので(たぶんバグ)、 # フーリエ級数を求める積分は、sin, cosを掛けた区分関数を使って積分する T0 = 1 k = var('k') f1s = lambda k: f1(t)*sin((2*pi*k)/T0*t) f2s = lambda k: f2(t)*sin((2*pi*k)/T0*t) f1c = lambda k: f1(t)*cos((2*pi*k)/T0*t) f2c = lambda k: f2(t)*cos((2*pi*k)/T0*t) b(k) = (2/T0)*Piecewise([[(-1/2, 0), f1s(k)], [(0, 1/2), f2s(k)]]).integral(t, -T0/2, T0/2) a(k) = (2/T0)*Piecewise([[(-1/2, 0), f1c(k)], [(0, 1/2), f2c(k)]]).integral(t, -T0/2, T0/2) a0 = (2/T0)*Piecewise([[(-1/2, 0), f1c(0)], [(0, 1/2), f2c(0)]]).integral(t, -T0/2, T0/2) # a0 = Piecewise([[(-1/2, 0), f1], [(0, 1/2), f2]]).integral(t, -T0/2, T0/2) # とするとTypeErrorとなります(これもバグ?) # 値の確認 print a0, a(1), a(2), a(3), b(1) }} #pre{{ 0 8/pi^2 0 8/9/pi^2 0 }} *** kの値を変えて波形を計算 [#u66376f5] 求めた\(a_k\)を使ってkの値を1, 5, 19と変えた結果をプロットしてみます。 sageへの入力: #pre{{ def fk(t, k): return sum(a(n)*cos((2*pi*n/T0)*t) for n in range(1, k+1)) show(fk(t, 3)) # n=1,5,19の合成波をプロット p = plot(fk(t, 2), -1,1, color='blue',legend_label='n=1') p += plot(fk(t, 5), -1,1, color='red',legend_label='n=5') p += plot(fk(t, 10), -1,1, color='green',legend_label='n=19') p.show(figsize=5) }} &ref(sage1.png); ** 同じ問題をPiecewiseの関数で計算 [#k3bda492] Piecewiseには、フーリエ級数を計算する機能が備わっています。 先のfkに相当する関数がfourier_series_partial_sumです。 fourier_series_partial_sumの使い方は、以下の様に使います。 #pre{{ g.fourier_series_partial_sum(N, L) }} ここで、Nは計算する次数、Lは区間の長さL(区間は、-LからLです)で、fourier_series_partial_sumの返す値は、以下の式で表されます。 $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N [a_n\cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n\sin(\frac{n\pi x}{L})] $$ *** fourier_series_partial_sumで5次の項まで計算 [#g2509d25] それでは、同じ問題をfourier_series_partial_sumで計算してみましょう。 sageへの入力: #pre{{ # 同じ問題をPiecewiseのフーリエ級数関数を使って解いてみる g = Piecewise([[(-1/2, 0), f1], [(0, 1/2), f2]]) plot(g, figsize=4) }} &ref(sage2.png); sageへの入力: #pre{{ show(g.fourier_series_partial_sum(5, 1/2)) }} &ref(sage3.png); *** fourier_series_partial_sumのプロット [#ad2c80fc] 計算結果をプロットしてみます。N=100とするとほとんど三角波になっています。 sageへの入力: #pre{{ p = plot(g.fourier_series_partial_sum(5, 1/2), -1,1, color='blue',legend_label='n=5') p += plot(g.fourier_series_partial_sum(10, 1/2), -1,1, color='red',legend_label='n=10') p += plot(g.fourier_series_partial_sum(50, 1/2), -1,1, color='green',legend_label='n=50') p += plot(g.fourier_series_partial_sum(100, 1/2), -1,1, color='purple',legend_label='n=100') p.show(figsize=5) }} &ref(sage4.png); ** コメント [#s0d28076] #vote(おもしろかった,そうでもない,わかりずらい) 皆様のご意見、ご希望をお待ちしております。 #comment_kcaptcha