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#contents

2011/06/27からのアクセス回数 &counter;

ここで紹介したSageワークシートは、以下のURLからダウンロードできます。

http://sage.math.canterbury.ac.nz/home/pub/106/

また、Sageのサーバを公開しているサイト(http://sage.math.canterbury.ac.nz/ 、http://www.sagenb.org/)にユーザIDを作成することで、ダウンロードしたワークシートを
アップロードし、実行したり、変更していろいろ動きを試すことができます。

* 第7章-RVM(関連ベクトルマシン)をSageで試す [#z65b795c]

最初に「パターン認識と機械学習」(PRML)を鈴木由宇さんから紹介して頂いた時に、
RVMが今の流行で、それをとてもスマートに実装している人がいると教えて頂いたのが、
se-kichiさんの
[[「きちめも」>http://d.hatena.ne.jp/se-kichi/20100519/1274275285]]
でした。		

これを見て、Sageを使ってPRMLの例題を試してみようと思いました。
ようやく「きちめも」のRVMまでPRMLを読み進むことができました。

ここで紹介するのは、PRMLの図7.9、

&ref(http://research.microsoft.com/en-us/um/people/cmbishop/PRML/prmlfigs-jpg/Figure7.9.jpg,center,40%);

です。エビデンス近似の場合の最も良くフィットしたMが3個であり、
RVMで求まった関連ベクトルが3個というのも意味深いものを感じます。


** テストデータ [#t117dc02]

1章のSin曲線のフィッティングで使用したデータを今回も使います。
[[sage/PRML-線形回帰]]
参照してください。


sageへの入力:
#pre{{
# PRMLのsin曲線のデータ
data = matrix([
        [0.000000, 0.349486],
        [0.111111, 0.830839],
        [0.222222, 1.007332],
        [0.333333, 0.971507],
        [0.444444, 0.133066],
        [0.555556, 0.166823],
        [0.666667, -0.848307],
        [0.777778, -0.445686],
        [0.888889, -0.563567],
        [1.000000, 0.261502],
        ]);
X = data.column(0)
t = data.column(1)
# データのプロット
x = var('x');
sin_plt = plot(sin(2*pi*x),[x, 0, 1], rgbcolor='green');
data_plt = list_plot(zip(X, t)); data_plt
(data_plt + sin_plt).show()
}}

&ref(sage0.png);

** RVMの更新式 [#u95eea73]

重みベクトルに対する事後確率は、式(7.81)
$$
p(w|t, X, \alpha, \beta) = \mathcal{N}(w|m, \Sigma)
$$
平均と共分散は、式(7.82), (7.83)
$$
m = \beta \Sigma \Phi^T t
$$
$$
\Sigma = ( A + \beta \Phi^T \Phi)^{-1}
$$
で与えられると、αとβのエビデンス近似は、対数尤度の式(7.85), (7.86)
$$
\ln p(t|X, \alpha, \beta) = \ln \mathcal{N}(t|0, C)
$$
$$
= - \frac{1}{2} \left \{ N \ln (2\pi) + \ln |C| t^TC^{-1}t \right \}.
$$
$$
C = \beta^{-1} I + \Phi A^{-1}\Pi^T
C = \beta^{-1} I + \Phi A^{-1}\Phi^T
$$
を最大化することで、式(7.87), (7.88)となります。
$$
\alpha_i^{new} = \frac{\gamma_i}{m_i^2}
$$
$$
(\beta^{new})^{-1} = \frac{|| t - \Phi m ||^2}{N - \Sigma_i \gamma_i}
$$
ここで\(\gamma_i\)は、式(7.89)で定義されます。
$$
\gamma_i = 1 - \alpha_i \Sigma_{ii}
$$

予測値の条件付き確率分布は、式(7.76)、
$$
p(t|x, w, \beta) =  \mathcal{N}(t|y(x), \beta^{-1})
$$

平均値は、式(7.77)、
$$
y(x) = w^T \phi(x)
$$
で、予測値の平均は、重みベクトルwを事後平均mとしたものになります。式(7.90)
$$
p(t|x, X, t, \alpha^*, \beta^*) = \mathcal{N}(t|m^T \phi(x), \sigma^2(x))
$$
\(\sigma^2(x)\)は、式(7.91)
$$
\sigma^2(x) = (\beta^*)^{-1} + \phi(x)^T \Sigma \phi(x)
$$
となります。


** RVMの計算 [#iecef450]

更新式(7.87), (7.88)を使って
[[「きちめも」>http://d.hatena.ne.jp/se-kichi/20100519/1274275285]]
を参考にSageに移植してみました。


sageへの入力:
#pre{{
# PRMLの7.2.1を「きちめも」
# http://d.hatena.ne.jp/se-kichi/20100519/1274275285
# からsageに移行

from scipy.linalg import norm as _norm
import scipy as sp
# ガウスカーネルの定義
def kernel(x, y):
    return exp(-_norm(x-y)**2/0.05)
# 対角要素のみを持つマトリックスを返す
def diagonal(m):
    n = Sigma.ncols()   
    return diagonal_matrix([Sigma[i][i] for i in range(n)])
}}


sageへの入力:
#pre{{
# 初期設定
tol = 0.01
alpha_max = 1e10
N = len(X)
alpha = vector(RDF, [1 for i in range(N+1)])
beta = 1.0
# 計画行列Φ
Phi = matrix(RDF, [[1]+[kernel(xi, xj) for xj in X] for xi in X])
Phi_T = Phi.transpose()
}}

sageへの入力:
#pre{{
loop = 10000
diff = 1
for n in range(loop):
    if diff < tol: break
    A = diagonal_matrix(alpha)
    Sigma = (A + beta*Phi_T*Phi).inverse()
    m = beta*Sigma*Phi_T*t
    gamma = vector(sp.ones(N+1)) - diagonal(Sigma)*alpha
    alpha_new = vector(RDF, [gamma[i]/(m[i]*m[i]) for i in range(N+1)])
    beta_new = (N - gamma.sum()) / (t - Phi*m).norm()^2
    alpha_new = alpha_new.apply_map(lambda x : x if x < alpha_max else alpha_max)
    d_alpha, d_beta = alpha_new - alpha, beta_new - beta
    diff = d_alpha.norm()^2 + d_beta^2
    alpha, beta = alpha_new, beta_new
print alpha
}}
sageからの出力:
#pre{{
(1.00000000000000e10, 1.00000000000000e10, 1.00000000000000e10, 0.899348917265024, 
1.00000000000000e10, 1.00000000000000e10, 1.00000000000000e10, 1.00000000000000e10, 
1.95795402710279, 1.00000000000000e10, 10.9873539203255)
}}


sageへの入力:
#pre{{
# 関連ベクトルのインデックスを取得
rv_index = [i-1 for i in range(1, N+1) if alpha[i] < alpha_max]
# 関連ベクトル以外の平均を0とする
_m = vector([m[i] if alpha[i] < alpha_max else 0 for i in range(N+1)])
print rv_index
}}
sageからの出力:
#pre{{
[2, 7, 9]
}}


sageへの入力:
#pre{{
# 関連ベクトルのプロット
rv_plt = Graphics()
for i in rv_index:
    rv_plt += point((X[i], t[i]), rgbcolor='red', pointsize=15, faceted=True)
}}


sageへの入力:
#pre{{
# 予測値の平均
def mean(x):
    phi = vector(RDF, [1.0] + [kernel(x, xj) for xj in X])
    return _m * phi
# 予測値の分散
def variance(x):
    phi = vector(RDF, [1.0] + [kernel(x, xj) for xj in X])
    return 1/beta + phi*Sigma*phi
}}


** 結果のプロット [#y0fd55f7]

オリジナルのsin曲線を緑で、データ点を青で、計算したフィッティング曲線を緑で、予測値の標準偏差をグレイで、
関連ベクトルを大きめの赤い点でプロットしました。


sageへの入力:
#pre{{
# 結果のプロット
var('x')
y_plt = plot(lambda x : mean(x), [x, 0, 1],  rgbcolor='red')
s_u_plt = plot(lambda x : mean(x) + sqrt(variance(x)), [x, 0, 1],  rgbcolor='grey'); 
s_d_plt = plot(lambda x : mean(x) - sqrt(variance(x)), [x, 0, 1],  rgbcolor='grey'); 
(y_plt + s_u_plt + s_d_plt + data_plt + sin_plt + rv_plt).show()
}}

&ref(sage0-1.png);


** コメント [#e67e2cf7]
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