sage/text/微分・積分
をテンプレートにして作成
[
トップ
] [
新規
|
一覧
|
単語検索
|
最終更新
|
ヘルプ
]
開始行:
[[FrontPage]]
#contents
2011/06/17からのアクセス回数 &counter;
ここで紹介したSageワークシートは、以下のURLからダウンロー...
http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/7/
また、Sageのサーバを公開しているサイト（http://www.sagenb...
アップロードし、実行したり、変更していろいろ動きを試すこ...
* 微分・積分 [#gd86cfbe]
** 微分 [#ve82a260]
高校で習う微分の公式は、以下の２つです。
- \(\frac{d}{dx} c = 0\)
- \(\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\)
sageで微分は、diff関数を使います。diff関数の使い方は以下...
#pre{{
diff(関数, 微分する変数, 次数)
}}
上記公式をsageで実行すると以下のようになります。
sageへの入力:
#pre{{
# 変数と関数を生成
x, c, n = var('x c n')
# 微分
print diff(c, x)
print diff(x^n, x)
}}
sageの出力:
#pre{{
0
n*x^(n - 1)
}}
*** Sageで微分公式を確認 [#fd20baa8]
sageで変数xの関数fを以下のように定義します。
#pre{{
x = var('x')
f = function('f', x)
}}
この関数を微分すると、$f'$は以下のようにD[0](f)(x)のよう...
sageへの入力:
#pre{{
# 変数x, 関数fを定義
x = var('x')
f = function('f', x)
# 関数fを変数xで微分
diff(f, x)
}}
sageの出力:
#pre{{
D[0](f)(x)
}}
以下に示す微分の公式をSageで実行し、f'=D[0](f)(x)の置換を...
- \( (cf(x))' = cf'(x)\)
- \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)
- \( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
- \( (f(x)/g(x))' = (f(x)'g(x) - g'(x)f(x))/g(x)^2\)
- \( (1/g(x))' = -g'(x)/g(x)^2\)
- \( (f(g(x)))'= f'(g(x))g'(x)\)
sageへの入力:
#pre{{
# df/dx = f', dg/dx = g'の置き換え関数の定義
repStr = lambda f : str(f).replace("D[0](f)", "f'").repla...
}}
sageへの入力:
#pre{{
# 関数gを定義
g = function('g', x)
# 微分公式をsageを使って実行
print repStr(diff(c*f, x))
print repStr(diff(f+g, x))
print repStr(diff(f*g,x))
print repStr(diff(f/g, x).simplify_full())
print repStr(diff(1/g,x))
print repStr(diff(f(g), x))
}}
#pre{{
c*f'(x)
f'(x) + g'(x)
f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x)
-(f(x)*g'(x) - g(x)*f'(x))/g(x)^2
-g'(x)/g(x)^2
f'(g(x))*g'(x)
}}
*** いろんな関数の微分 [#h9a37c2a]
以下に主な関数を微分した結果を示します。
sageへの入力:
#pre{{
# いろんな関数の微分
var('x c n')
sts=[c, x^n, sin(x), cos(x), exp(x), log(x)]
html.table([("関数", "微分結果")] + [(st, diff(st, x)) fo...
}}
&ref(out1.png);
*** 微分の応用 [#yda99847]
微分の応用として、接線の方程式とその法線を計算してみまし...
関数f(x)を以下のように定義します。
$$
f(x) = x^3 - x^2 - 2*x
$$
このとき、$x = x_1$での接線の式は、以下のようになります。
$$
y - y_{1} = f'(x_{1})(x - x_{1})
$$
また、法線は接線と直交することから、以下のようになります。
$$
y - y_{1} = -\frac{1}{f'(x_{1})}(x - x_{1})
$$
f(x)の微分した式をg(x)とし、x=0での接線と法線を計算し、プ...
sageへの入力:
#pre{{
f(x) = x^3 - x^2 - 2*x; view(f)
}}
&ref(out2.png);
sageへの入力:
#pre{{
g(x) = diff(f, x); view(g)
}}
&ref(out3.png);
sageへの入力:
#pre{{
m = g(x=0); m
}}
sageの出力:
#pre{{
-2
}}
sageへの入力:
#pre{{
p1 = plot(f, [x, -2.5, 2.5])
p2 = plot(m*(x-0)+f(0), [x, -2.5, 2.5])
p3 = plot(-(x-0)/m+f(0),[x, -2.5, 2.5])
pt = point([0, f(0)])
(p1+p2+p3+pt).show(aspect_ratio=1, ymin=-2.5, ymax=2.5 )
}}
&ref(out4.png);
** 積分 [#nd715b9d]
sageでは積分は、integrate関数で計算します。
#pre{{
integrate(被積分関数, 積分変数)
また
integrate(被積分関数, 積分変数, 積分範囲)
とすると定積分を計算します。
}}
例として、\(\int x dx\)を計算した後、その微分を求めていま...
元のxが返されています。
sageへの入力:
#pre{{
f = integrate(x, x); view(f)
}}
&ref(out5.png);
sageへの入力:
#pre{{
diff(f)
}}
sageの出力:
#pre{{
x
}}
*** いろんな関数の積分 [#l3931160]
以下に主な関数を積分した結果を示します。
sageへの入力:
#pre{{
# いろんな関数の積分
var('x c')
f = function('f', x)
sts=[c, 1/x, exp(x), log(x), sin(x), diff(f, x)/f(x)]
html.table([("関数", "積分結果")] + [(repStr(st), integra...
}}
&ref(out6.png);
*** 定積分 [#nf7cd148]
次に定積分$\int_{0}^{\pi/2}sin(x) dx$の例を示します。
$sin(x)$を0から$\pi/2$の範囲でプロットすると以下のように...
sageへの入力:
#pre{{
plot(sin, [x, 0, pi/2], fill=True)
}}
&ref(out7.png);
sinの積分は、-cosですから、定積分は以下のようになります。
$$
[ -cos(x) ]_0^\pi = \{ 0 - (-1) \} = 1
$$
それでは、Sageを使って、\(sin(x)\)を0から\(\pi/2\)の範囲...
sageへの入力:
#pre{{
integrate(sin(x), x, 0, pi/2)
}}
sageの出力:
#pre{{
1
}}
もう一つ、以下の関数を積分した例をみてみましょう。
$$
\int_{0}^{3}x^2 + 2sin(x) dx
$$
先ほどと同様に、積分範囲をプロットしてみます。
sageへの入力:
#pre{{
plot(x^2 + 2*sin(x), [x, 0, 3], fill=True)
}}
&ref(out8.png);
積分の結果は、関数で返されるのでN(_)を使って数値に変換し...
このように関数のプロット結果から推定される概算と積分の結...
計算結果を確認しながら、進められるのもSageの特徴です。
sageへの入力:
#pre{{
integrate(x^2+2*sin(x), x, 0, 3)
}}
sageの出力:
#pre{{
-2*cos(3) + 11
}}
sageへの入力:
#pre{{
N(_)
}}
sageの出力:
#pre{{
12.9799849932009
}}
*** 数値積分 [#y2b4bfc6]
すべての関数が定積分できるとは限りません、そこでSageには...
numerical_integral関数が用意されています。
numerical_integral関数の使い方は、以下の通りです。
関数の戻り値は、積分結果と誤差のタプルが返されます。
#pre{{
numerical_integral(被関分館数, 積分範囲)
}}
例として、\(sin(x)\)を0から\(\pi/2\)で数値積分した結果を...
sageへの入力:
#pre{{
sigma, error = numerical_integral(sin(x), 0, pi/2); (sig...
}}
sageの出力:
#pre{{
(1.0, 1.1102230246251565e-14)
}}
*** 積分の応用 [#w908e021]
積分の応用例として、サイクロイドの計算をしてみます。
サイクロイドは、tをパラメータとして、以下のような式で表さ...
$$
\left\{\begin{eqnarray}
x &=& 2(t-sin(t)) \\
y &=& 2(1-cos(t))
\end{eqnarray}\right.
$$
この曲線の長さは、以下の積分で計算することができます。
$$
\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt
$$
解析解では、この結果は16となります。
sageへの入力:
#pre{{
t = var('t')
x = 2*(t-sin(t))
y = 2*(1-cos(t))
parametric_plot([x, y], (t, 0, 2*pi))
}}
&ref(out9.png);
sageへの入力:
#pre{{
cycloid = sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2)
}}
残念ながら、integrate関数を使うと符号がマイナスの原因が不...
sageへの入力:
#pre{{
integrate(cycloid, t, 0, 2*pi)
}}
sageの出力:
#pre{{
-16
}}
次に数値積分で計算してみます。16に近い値が求まります。
Sageのような数式処理で計算する場合には、途中計算のチェッ...
チェックをするように心がけるとよいでしょう。
sageへの入力:
#pre{{
numerical_integral(cycloid, 0, 2*pi)
}}
sageの出力:
#pre{{
(15.999999999999998, 1.7763568394002502e-13)
}}
** コメント [#m35c3227]
#vote(おもしろかった[1],そうでもない[0],わかりずらい[0])
皆様のご意見、ご希望をお待ちしております。
#comment_kcaptcha
終了行:
[[FrontPage]]
#contents
2011/06/17からのアクセス回数 &counter;
ここで紹介したSageワークシートは、以下のURLからダウンロー...
http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/7/
また、Sageのサーバを公開しているサイト（http://www.sagenb...
アップロードし、実行したり、変更していろいろ動きを試すこ...
* 微分・積分 [#gd86cfbe]
** 微分 [#ve82a260]
高校で習う微分の公式は、以下の２つです。
- \(\frac{d}{dx} c = 0\)
- \(\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\)
sageで微分は、diff関数を使います。diff関数の使い方は以下...
#pre{{
diff(関数, 微分する変数, 次数)
}}
上記公式をsageで実行すると以下のようになります。
sageへの入力:
#pre{{
# 変数と関数を生成
x, c, n = var('x c n')
# 微分
print diff(c, x)
print diff(x^n, x)
}}
sageの出力:
#pre{{
0
n*x^(n - 1)
}}
*** Sageで微分公式を確認 [#fd20baa8]
sageで変数xの関数fを以下のように定義します。
#pre{{
x = var('x')
f = function('f', x)
}}
この関数を微分すると、$f'$は以下のようにD[0](f)(x)のよう...
sageへの入力:
#pre{{
# 変数x, 関数fを定義
x = var('x')
f = function('f', x)
# 関数fを変数xで微分
diff(f, x)
}}
sageの出力:
#pre{{
D[0](f)(x)
}}
以下に示す微分の公式をSageで実行し、f'=D[0](f)(x)の置換を...
- \( (cf(x))' = cf'(x)\)
- \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)
- \( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
- \( (f(x)/g(x))' = (f(x)'g(x) - g'(x)f(x))/g(x)^2\)
- \( (1/g(x))' = -g'(x)/g(x)^2\)
- \( (f(g(x)))'= f'(g(x))g'(x)\)
sageへの入力:
#pre{{
# df/dx = f', dg/dx = g'の置き換え関数の定義
repStr = lambda f : str(f).replace("D[0](f)", "f'").repla...
}}
sageへの入力:
#pre{{
# 関数gを定義
g = function('g', x)
# 微分公式をsageを使って実行
print repStr(diff(c*f, x))
print repStr(diff(f+g, x))
print repStr(diff(f*g,x))
print repStr(diff(f/g, x).simplify_full())
print repStr(diff(1/g,x))
print repStr(diff(f(g), x))
}}
#pre{{
c*f'(x)
f'(x) + g'(x)
f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x)
-(f(x)*g'(x) - g(x)*f'(x))/g(x)^2
-g'(x)/g(x)^2
f'(g(x))*g'(x)
}}
*** いろんな関数の微分 [#h9a37c2a]
以下に主な関数を微分した結果を示します。
sageへの入力:
#pre{{
# いろんな関数の微分
var('x c n')
sts=[c, x^n, sin(x), cos(x), exp(x), log(x)]
html.table([("関数", "微分結果")] + [(st, diff(st, x)) fo...
}}
&ref(out1.png);
*** 微分の応用 [#yda99847]
微分の応用として、接線の方程式とその法線を計算してみまし...
関数f(x)を以下のように定義します。
$$
f(x) = x^3 - x^2 - 2*x
$$
このとき、$x = x_1$での接線の式は、以下のようになります。
$$
y - y_{1} = f'(x_{1})(x - x_{1})
$$
また、法線は接線と直交することから、以下のようになります。
$$
y - y_{1} = -\frac{1}{f'(x_{1})}(x - x_{1})
$$
f(x)の微分した式をg(x)とし、x=0での接線と法線を計算し、プ...
sageへの入力:
#pre{{
f(x) = x^3 - x^2 - 2*x; view(f)
}}
&ref(out2.png);
sageへの入力:
#pre{{
g(x) = diff(f, x); view(g)
}}
&ref(out3.png);
sageへの入力:
#pre{{
m = g(x=0); m
}}
sageの出力:
#pre{{
-2
}}
sageへの入力:
#pre{{
p1 = plot(f, [x, -2.5, 2.5])
p2 = plot(m*(x-0)+f(0), [x, -2.5, 2.5])
p3 = plot(-(x-0)/m+f(0),[x, -2.5, 2.5])
pt = point([0, f(0)])
(p1+p2+p3+pt).show(aspect_ratio=1, ymin=-2.5, ymax=2.5 )
}}
&ref(out4.png);
** 積分 [#nd715b9d]
sageでは積分は、integrate関数で計算します。
#pre{{
integrate(被積分関数, 積分変数)
また
integrate(被積分関数, 積分変数, 積分範囲)
とすると定積分を計算します。
}}
例として、\(\int x dx\)を計算した後、その微分を求めていま...
元のxが返されています。
sageへの入力:
#pre{{
f = integrate(x, x); view(f)
}}
&ref(out5.png);
sageへの入力:
#pre{{
diff(f)
}}
sageの出力:
#pre{{
x
}}
*** いろんな関数の積分 [#l3931160]
以下に主な関数を積分した結果を示します。
sageへの入力:
#pre{{
# いろんな関数の積分
var('x c')
f = function('f', x)
sts=[c, 1/x, exp(x), log(x), sin(x), diff(f, x)/f(x)]
html.table([("関数", "積分結果")] + [(repStr(st), integra...
}}
&ref(out6.png);
*** 定積分 [#nf7cd148]
次に定積分$\int_{0}^{\pi/2}sin(x) dx$の例を示します。
$sin(x)$を0から$\pi/2$の範囲でプロットすると以下のように...
sageへの入力:
#pre{{
plot(sin, [x, 0, pi/2], fill=True)
}}
&ref(out7.png);
sinの積分は、-cosですから、定積分は以下のようになります。
$$
[ -cos(x) ]_0^\pi = \{ 0 - (-1) \} = 1
$$
それでは、Sageを使って、\(sin(x)\)を0から\(\pi/2\)の範囲...
sageへの入力:
#pre{{
integrate(sin(x), x, 0, pi/2)
}}
sageの出力:
#pre{{
1
}}
もう一つ、以下の関数を積分した例をみてみましょう。
$$
\int_{0}^{3}x^2 + 2sin(x) dx
$$
先ほどと同様に、積分範囲をプロットしてみます。
sageへの入力:
#pre{{
plot(x^2 + 2*sin(x), [x, 0, 3], fill=True)
}}
&ref(out8.png);
積分の結果は、関数で返されるのでN(_)を使って数値に変換し...
このように関数のプロット結果から推定される概算と積分の結...
計算結果を確認しながら、進められるのもSageの特徴です。
sageへの入力:
#pre{{
integrate(x^2+2*sin(x), x, 0, 3)
}}
sageの出力:
#pre{{
-2*cos(3) + 11
}}
sageへの入力:
#pre{{
N(_)
}}
sageの出力:
#pre{{
12.9799849932009
}}
*** 数値積分 [#y2b4bfc6]
すべての関数が定積分できるとは限りません、そこでSageには...
numerical_integral関数が用意されています。
numerical_integral関数の使い方は、以下の通りです。
関数の戻り値は、積分結果と誤差のタプルが返されます。
#pre{{
numerical_integral(被関分館数, 積分範囲)
}}
例として、\(sin(x)\)を0から\(\pi/2\)で数値積分した結果を...
sageへの入力:
#pre{{
sigma, error = numerical_integral(sin(x), 0, pi/2); (sig...
}}
sageの出力:
#pre{{
(1.0, 1.1102230246251565e-14)
}}
*** 積分の応用 [#w908e021]
積分の応用例として、サイクロイドの計算をしてみます。
サイクロイドは、tをパラメータとして、以下のような式で表さ...
$$
\left\{\begin{eqnarray}
x &=& 2(t-sin(t)) \\
y &=& 2(1-cos(t))
\end{eqnarray}\right.
$$
この曲線の長さは、以下の積分で計算することができます。
$$
\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt
$$
解析解では、この結果は16となります。
sageへの入力:
#pre{{
t = var('t')
x = 2*(t-sin(t))
y = 2*(1-cos(t))
parametric_plot([x, y], (t, 0, 2*pi))
}}
&ref(out9.png);
sageへの入力:
#pre{{
cycloid = sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2)
}}
残念ながら、integrate関数を使うと符号がマイナスの原因が不...
sageへの入力:
#pre{{
integrate(cycloid, t, 0, 2*pi)
}}
sageの出力:
#pre{{
-16
}}
次に数値積分で計算してみます。16に近い値が求まります。
Sageのような数式処理で計算する場合には、途中計算のチェッ...
チェックをするように心がけるとよいでしょう。
sageへの入力:
#pre{{
numerical_integral(cycloid, 0, 2*pi)
}}
sageの出力:
#pre{{
(15.999999999999998, 1.7763568394002502e-13)
}}
** コメント [#m35c3227]
#vote(おもしろかった[1],そうでもない[0],わかりずらい[0])
皆様のご意見、ご希望をお待ちしております。
#comment_kcaptcha
ページ名:
SmartDoc
![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
