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2723 days ago by takepwave

Sageを使ってみよう

インストールなしで使えるsage

Sageの最大の特徴は、 FirefoxやInternet Explorer等のブラウザーからSage Notebook Serverにアクセスして、 気軽に数式処理を楽しむことが出来ることです

ノートブックは、Sageでの一連の計算を記録したノートであり、計算に関する説明文を挿入したり、 値を変更して再計算することができます。

ノートブックの作成

Sageのノートブックを体験するには、Sageの開発サイトでアカウントを作成し、ノートブックを作成するのが最も簡単な方法です。

注)Sageの開発サイト:http://wwww.sagemath.org/のTry Sage Online参照。また、筆者のホームページでもSageサーバを公開しています。詳しくは、http://www.pwv.co.jp:8000/を参照してください。

ログインが完了すると以下のようなノートブック画面になります。

ワークシートの作成

ノートブック画面でNew Worksheetをクリックすると新しいワークシートが作成されます。

ワークシートで式を評価するには、セルと呼ばれるテキストエリアを利用します。 セルの基本操作は、以下のように行います。

  • セルの評価:セルに記述した式を評価するには、シフトキーとリターンキーを同時に押す(shift-returnと記す)方法またはevaluateをクリックする。
  • セルの追加:セルの上下にマウスを移動すると青い帯が表示されます。この青い帯をクリックするとセルが追加されます。
  • セルの削除:セル内のテキストをすべて削除し、もう一度バックスペースキーを押すとセルが削除されます。

セルを評価してみよう

それでは、セルに式を入力してその値を評価してみましょう。

以下の2行を入力して、shift-returnを押して下さい。一番最初は結果が表示されるまで少し時間が掛かります。

5/6と数値ではなく、分数で返ってくるところが数式システムならではの芸当です。

a = 1/2 + 1/3 print a 
       
5/6
5/6

複雑な数式を入力すると、テキストベースの結果では分かりづらいです。そんな時には、view関数を使って表示すると数式がきれいに表示されます。

view(a) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{5}{6}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{5}{6}

多項式

中学の数学に出てきた多項式をSageで処理してみましょう。

以下の様な3次多項式を持つ関数$f(x)$をSageで定義します。 $$ f(x) = x^3 - x^2 -2x $$

最初に変数xをvar関数で定義します。次に上記の多項式を変数fにセットします。

x = var('x') f = x^3 - x^2 - 2*x view(f) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x^{3} - x^{2} - 2 \, x
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x^{3} - x^{2} - 2 \, x

多項式の因数分解には、factor関数を使います。

因数分解の結果から、関数fはx=-1, x=0, x=2でX軸と交わります。

factor(f) 
       
(x - 2)*(x + 1)*x
(x - 2)*(x + 1)*x

多項式のグラフ

3次多項式$f(x)$をプロットして、X軸と交差する位置を確認してみましょう。

plot関数には、表示したい関数とその範囲を指定します。ここではx=-2.5からx=2.5の範囲を指定します。

Sageの図化機能を使うことで簡単に$f(x)$の特徴を理解することができます。

plot(f, [x, -2.5, 2.5]) 
       

関数の極

3次多項式$f(x)$の極は、関数の接線の傾きが0(傾きがX軸と平行)の場所です。 関数の極を求めるには$f(x)$を微分し、その値が0となるxを求めます。

関数の微分には、diff関数を使います。diff関数には、微分したい関数とその変数を引数とします。

df = diff(f, x); view(df) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}3 \, x^{2} - 2 \, x - 2
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}3 \, x^{2} - 2 \, x - 2

関数の解

関数solverは関数が0となる変数の値を求めます。solverの引数は、解を求めたい関数とその変数を指定します。

関数fとそれを微分した関数dfのグラフを比べると関数dfがX軸と交わる点で、 関数fの接線の傾きが0となっていることが見て取れます。

sol = solve(df, x); view(sol) plot(df, [x, -2.5, 2.5]) 
       
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = -\frac{1}{3} \, \sqrt{7} + \frac{1}{3}, x = \frac{1}{3} \, \sqrt{7} + \frac{1}{3}\right]
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = -\frac{1}{3} \, \sqrt{7} + \frac{1}{3}, x = \frac{1}{3} \, \sqrt{7} + \frac{1}{3}\right]

数値解

Sageは数式処理システムなので、関数solverの結果が数式で返ってきます。 数値解が欲しい場合にはfind_root関数を使います。

このようにSageを使って関数fをプロットしたり、解を求めることによって関数fの理解を深めることができます。

print find_root(df, -2, 0), find_root(df, 0, 2) 
       
-0.548583770355 1.21525043702
-0.548583770355 1.21525043702