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2011/04/08からのアクセス回数 7801 ここで紹介したSageワークシートは、以下のURLからダウンロードできます。 http://sage.math.canterbury.ac.nz/home/pub/86/ また、Sageのサーバを公開しているサイト（http://sage.math.canterbury.ac.nz/ 、http://www.sagenb.org/）にユーザIDを作成することで、ダウンロードしたワークシートを アップロードし、実行したり、変更していろいろ動きを試すことができます。 第1章-Sageを使って線形回帰を試してみる †パターン認識と機械学習 は、機械学習に関するとても優れた教科書です。ここでは、Sageを使って教科書の例題を実際に試してみます。 第1章の例題として、\( sin(2 \pi x) \)の回帰問題について見てみます。 データについて †上巻の付録Aにあるように http://research.microsoft.com/~cmbishop/PRML から 例題のデータをダウンロードすることができます。 これから計算に使うSin曲線は、 $$ y = sin(2 \pi x) + \mathcal{N}(0,0.3) $$ で与えられたデータです。ここでは、curve fitting dataで提供されているデータを使用します。 最初に、データを座標Xと目的値tにセットし、sin曲線と一緒に表示してみます。 sageへの入力: # PRMLのsin曲線のデータ
data = matrix([
[0.000000, 0.349486],
[0.111111, 0.830839],
[0.222222, 1.007332],
[0.333333, 0.971507],
[0.444444, 0.133066],
[0.555556, 0.166823],
[0.666667, -0.848307],
[0.777778, -0.445686],
[0.888889, -0.563567],
[1.000000, 0.261502],
]);
X = data.column(0)
t = data.column(1)
M = 3;
# データのプロット
sin_plt = plot(sin(2*pi*x),[x, 0, 1], rgbcolor='green');
data_plt = list_plot(zip(X, t)); data_plt
(data_plt + sin_plt).show()
最小自乗法の解 †3章の式(3.15)によると最小自乗法の解は、 $$ W_{ML} = ( \Phi^T \Phi )^{-1} \Phi^T t $$ で与えられます。ここで、\(\Phi\) は計画行列(design matrix)と呼ばれ、その要素は、\(\Phi_{nj} = \phi_j(x_n)\) 与えらます。 また、行列 \( \Phi^{\dagger} \)は、ムーア＿ベンローズの疑似逆行列と呼ばれています。 $$ \Phi^{\dagger} = \left( \Phi^T \Phi \right)^{-1} \Phi^T $$ 多項式フィッティング †多項式フィッティングの式(1.1)では、\(y(x, w)\)を以下のように定義します。 $$ y(x, w) = \sum^{M}_{j=0} w_j x^j $$ そこで、\(\phi_j(x)\)を以下のように定義します。 $$ \phi_j(x) = x^j $$ sageへの入力: # Φ関数定義
def _phi(x, j):
return x^j
行列のセットと解の計算 †定義に従って計画行列\(\Phi\)、計画行列の転置行列\(\Phi^T\)、ムーア＿ベンローズの疑似逆行列\(\Phi^\dagger\)を求め、 平均の重み\(W_{ML}\)を計算します。 sageへの入力: # 計画行列Φ Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]); Phi_t = Phi.transpose(); # ムーア＿ベンローズの疑似逆行列 Phi_dag = (Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; # 平均の重み Wml = Phi_dag * t; Wml (0.313702727439780, 7.98537103199157, -25.4261022423404, 17.3740765279263) 多項式yの定義 †sageでは、多項式y(x)を以下のように定義します。 sageへの入力: # 出力関数yの定義 y = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1))); 多項式線形回帰の結果 †\(M=3\)の時の、多項式回帰の結果（赤）をサンプリング（青）とオリジナルの\(sin(2 \pi x)\)を合わせて プロットします。 sageへの入力: y_plt = plot(y, [x, 0, 1], rgbcolor='red'); (y_plt + data_plt + sin_plt).show();
様々なMの結果 †図1.3に相当する図を表示します。スライダーでMの値を変えてみてください。 \(M=9\)ではすべての点を通る曲線になりますが、元のsin曲線とはかけ離れた形になります。 これは、過学習（over fitting）と呼ばれる現象で、機械学習はこの過学習との戦いになります。 sageへの入力: # PRMLの図1.3
@interact
def _(M=(0..9)):
# 計画行列Φ
Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]);
Phi_t = Phi.transpose();
# ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
Phi_dag = (Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t;
# 平均の重み
Wml = Phi_dag * t;
f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
y_plt = plot(f, [x, 0, 1], rgbcolor='red');
(y_plt + data_plt + sin_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);
100個の検証用データを生成 †サンプルを100個に増やした検証用データを生成します。 sageへの入力: # 100個の検証用データを生成する X100 = vector([random() for i in range(100)]); t100 = vector([(sin(2*pi*x) + +gauss(0, 0.3)).n() for x in X100.list()]); # 100個のデータをプロット lst100_plt = list_plot(zip(X100, t100), rgbcolor='gray'); (data_plt + lst100_plt + sin_plt).show()
サンプルを増やした場合 †サンプルを100個に増やし、\(M=9\)の多項式フィッティングを行ったのが、以下の図です（原書の図1.6に対応）。 サンプルを増やせば、\(M=9\)でも元のsin曲線に近い形になりますが、少数の貴重なサンプルではこのような方法は使えません。 sageへの入力: M = 9; # 計画行列Φ Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X100.list()]); Phi_t = Phi.transpose(); # ムーア＿ベンローズの疑似逆行列 Phi_dag = (Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; # 平均の重み Wml = Phi_dag * t100; Wml f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1))); y_plt = plot(f, [x, 0, 1], rgbcolor='red'); (y_plt + lst100_plt + sin_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);
平均自乗平方根誤差 †原書の1.1では訓練データとテスト用データの平均自乗平方根誤差、 $$ E(w) = \frac{1}{2} \sum^N_{n=1} \{ y(x_n, w) - t_n \}^2 $$ を使って最適なMの値を求める手法を紹介しています。 以下に訓練用データの\(E_{RMS}\)（青）、テスト用データの\(E_{RMS}\)（赤）でMに対する 値の変化を示します。M=3で訓練、テスト共に低い値となることが見て取れます。 sageへの入力: # 平均自乗平方根誤差
Erms_t = [];
Erms_t100 = [];
for M in range(10):
# 計画行列Φ
Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]);
Phi_t = Phi.transpose();
# ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
Phi_dag = (Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t;
# 平均の重み
Wml = Phi_dag * t;
f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
Erms_t += [sqrt(sum((t[i] - f(X[i]))^2 for i in range(len(t)))/len(t))];
Erms_t100 += [sqrt(sum((t100[i] - f(X100[i]))^2 for i in range(len(t100)))/len(t100))];
Erms_t_plt = list_plot(Erms_t);
Erms_t100_plt = list_plot(Erms_t100, rgbcolor = 'red');
(Erms_t_plt + Erms_t100_plt).show();
# グラフの傾向はPRMLと同じですが、値が若干ずれている？
リッジ回帰 †誤差関数にペナルティ項を追加し、過学習を防ぐ例として、リッジ回帰が紹介されています。 $$ \tilde{E}^(w) = \frac{1}{2} \sum^N_{n=1} \{ y(x_n, w) - t_n \}^2 + \frac{\lambda}{2} ||w||^2 $$ を使って正規化します。 以下にM=9の練習用データにリッジ回帰を行った結果を示します。 sageへの入力: # リッジ回帰 M = 9; N = len(t); lam = n(e^-18); Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]); Phi_t = Phi.transpose(); # ムーア＿ベンローズの疑似逆行列 Phi_dag = (lam*matrix((M+1),(M+1),1) + Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; # 平均の重み Wml = Phi_dag * t; f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1))); y_plt = plot(f, [x, 0, 1], rgbcolor='red'); (y_plt + data_plt + sin_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);
リッジ回帰に対する平均自乗平方根誤差 †リッジ回帰に対する訓練用データの\(E_{RMS}\)（青）、テスト用データの\(E_{RMS}\)（赤）でMに対する 値の変化を示します。 sageへの入力: # Ermsを取って過学習の度合いを見る
# 平均自乗平方根誤差
Erms_t = [];
Erms_t100 = [];
for ln_lam in range(-38, 1):
lam = n(e^ln_lam);
Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]);
Phi_t = Phi.transpose();
# ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
Phi_dag = (lam*matrix((M+1),(M+1),1) + Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t;
# 平均の重み
Wml = Phi_dag * t;
f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
Erms_t += [[ln_lam, sqrt(sum((t[i] - f(X[i]))^2 for i in range(len(t)))/len(t))]];
Erms_t100 += [[ln_lam, sqrt(sum((t100[i] - f(X100[i]))^2 for i in range(len(t100)))/len(t100))]];
Erms_t_plt = list_plot(Erms_t);
Erms_t100_plt = list_plot(Erms_t100, rgbcolor = 'red');
(Erms_t_plt + Erms_t100_plt).show();
ベイズ的なフィッティング †もっとも良い結果を示すのが、ベイズ的なフィッティングの結果です（原著図1.17）。 $$ m_N = \beta S_N \Phi^T t $$ $$ S^{-1}_{N} = \alpha I + \beta \Phi^T \Phi $$ で与えられます。（\(m_N\)は、直線回帰の\(W_{ML}\)に相当します） 以下に\(\alpha = 5 \times 10^{-3}, \beta = 11.1\)の練習用データのベイズ的なフィッティング結果を示します。 sageへの入力: # ベイズ的なフィッティング
# α=5*10^-3, β=11.1を使用
alpha = 5*10^-3;
beta = 11.1;
Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]);
Phi_t = Phi.transpose();
# ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
Phi_dag = (alpha*matrix((M+1),(M+1),1) + beta*Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t;
# 平均の重み
Wml = beta*Phi_dag * t;
f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
# 分散
def s(x):
phi_x = vector([x^i for i in range(M+1)]);
s_sqr = 1/beta + phi_x * Phi_dag * phi_x;
return sqrt(s_sqr);
s_u_plt = plot(lambda x : f(x) + s(x), [x, 0, 1], rgbcolor='grey');
s_d_plt = plot(lambda x : f(x) - s(x), [x, 0, 1], rgbcolor='grey');
y_plt = plot(f, [x, 0, 1], rgbcolor='red');
(y_plt + data_plt + sin_plt + s_u_plt + s_d_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);
lasso回帰 †鈴木由宇さんから、最近はlasso回帰も注目されていると聞き、 smlyさんのブログ「線形回帰モデルとか」 から、cvx_optを使った方法を使わせて頂き、Sageでプロットしてみました。 lasso回帰は、リッジ回帰のペナルティ項が２次から絶対値になったものです。 $$ \tilde{E}(w) = \frac{1}{2} \sum^N_{n=1} \{ y(x_n, w) - t_n \}^2 + \frac{\lambda}{2} ||w|| $$ sageへの入力: # lasso回帰 # http://d.hatena.ne.jp/smly/20100630/1277904761 # を参考にlasso回帰を実施 # cvx_optの宣言 from cvxopt import solvers from cvxopt.base import matrix as _matrix import numpy as np # M = 9 lim = 30.0 # 計画行列Φ phi = _matrix([[ float(_phi(x,j).n()) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]).T; P = _matrix(float(0.0), (2*(M+1), 2*(M+1))) P[:M+1, :M+1] = phi.T * phi q = _matrix(float(0.0), (2*(M+1), 1)) t = _matrix(np.matrix(t)).T q[:M+1] = -phi.T * t Ident = _matrix(np.identity(M+1, float)) G = _matrix([[Ident, -Ident, _matrix(float(0.0), (1,M+1))],[-Ident, -Ident, _matrix(float(1.0), (1,M+1))]]) h = _matrix(float(lim), (2*(M+1)+1,1)) # constraint (PRML ex.3.5, eq3.30) x = solvers.qp(P, q, G, h)['x'][:M+1] Wml = np.array(x).reshape(M+1) print Wml sageからの出力: pcost dcost gap pres dres 0: -7.3129e-01 -1.5730e+04 2e+04 5e-17 8e+01 1: -1.1908e+00 -2.3198e+02 2e+02 2e-16 1e+00 2: -1.6934e+00 -1.1863e+01 1e+01 2e-16 5e-02 3: -1.8817e+00 -2.4425e+00 6e-01 2e-16 2e-03 4: -1.8890e+00 -1.9346e+00 5e-02 2e-16 2e-04 5: -1.8949e+00 -1.9100e+00 2e-02 2e-16 4e-05 6: -1.8990e+00 -1.9027e+00 4e-03 3e-16 4e-14 7: -1.8998e+00 -1.9009e+00 1e-03 2e-16 3e-14 8: -1.9003e+00 -1.9005e+00 2e-04 3e-16 4e-14 9: -1.9004e+00 -1.9005e+00 1e-04 3e-16 3e-14 10: -1.9004e+00 -1.9004e+00 1e-05 5e-16 4e-14 11: -1.9004e+00 -1.9004e+00 2e-07 2e-16 3e-14 Optimal solution found. [ 3.50668337e-01 4.72355549e+00 -5.66598952e-01 -3.33176635e+01 5.28640500e-04 5.46111228e+01 2.04434686e+01 -9.73943631e-04 -1.30982583e+02 8.49936038e+01] sageへの入力: var('x')
f = lambda x : sum(Wml[i]*_phi(x,i) for i in range(0, (M+1)));
y_plt = plot(f(x), [x, 0, 1], rgbcolor='red');
(y_plt + data_plt + sin_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);
コメント †皆様のご意見、ご希望をお待ちしております。
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